\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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%----- Modifications de symboles -----
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\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
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\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}

%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre 2014 \\
Responsable: Christine Huyghe \\
Contrôle Continu du 22 mars 2014. Durée : 1h30.\\
Sujet 1 (A indiquer obligatoirement sur la copie)}
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique
(calculatrice, ...). Le barême noté n'est qu'indicatif.

\vspace{+1cm}
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
\item {\bf Cours} (5 pts). 
     Soit $K$ un corps.	
		\begin{enumerate}  
                \item[-] Donner sans démonstration une base de $M_2(K)$ et en conclure que 
                $dim(M_2(K))=4$.
				\item[-] Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Rappeler 
                 l'énoncé du théorème de la base incomplète.
               \item[-] En utilisant le théorème de la base incomplète, rappeler la démonstration 
                du fait qu'une famille libre dans un espace vectoriel de dimension $N$ a au plus 
                 $N$ vecteurs.
		 \end{enumerate}
%
\item {\bf Vrai/Faux} (3 pts). Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Justifier votre réponse : donner une démonstration si vous trouvez que l'affirmation est
juste. Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.
         \begin{enumerate} 
                \item[a-] Soient $E=\Rr^n$, avec $n\geq 4$. Soient $P$ et $D$ un plan vectoriel, (resp.) une droite 
                vectorielle tels que $D\bigcap P=\{0\}$. Alors $dim(P\bigoplus D)=3$.
                \item[b-] Soient $A_1,\ldots ,A_{10}$ des matrices de $M_3(\Cc)$, alors 
                 $\exists \, (\lambda_1,\ldots,\lambda_{10})\in\Cc^{10}\backslash\{(0,\ldots,0)\}$ tels que 
                $\sum_{i=1}^{10} \lambda_i A_i =0$.
                 \item[c-] Soient $A_1,\ldots ,A_8$ des matrices de $M_3(\Cc)$, alors nécessairement 
                  elles forment une famille libre.
                    \end{enumerate}
                 
\item {\bf Exercice 1} (5 pts). 
        \begin{enumerate}
         \item[a-] Soit $A(X)\in M_4(\Cc)$ définie par 
                       $$A(X)=\left[\begin{array}{cccc}
				X - 1 & 0 
				 & 0 & 1 -\frac{i}{2}\\
				0 &  - 1 & 0 & 0
				\\
				0 &  0  & 0 & X -\frac{i}{2}\\
				-X + 2 & 0   & X-1 & -1 +\frac{i}{2}
				\end{array}\right],$$ où $X$ est une indéterminée.
               Calculer $P(X)=det(A(X))$ 
                et montrer que $P(X)=(X-1)^2 Q(X)$ où $Q$ est un polynôme de degré $1$ à déterminer.
         \item[b-] Soient $t\in\Cc$ et $$ U(t)=\left[\begin{array}{c} 2t-1 \\ 0 \\ 0 \\ -2t+2 \end{array}\right],\,
                     V(t)=\left[\begin{array}{c} 0  \\  0 \\ 0  \\ 2t-1 \end{array}\right], \, 
                     W(t)=\left[\begin{array}{c} 1-\frac{i}{2} \\ 0 \\ 2t-\frac{i}{2} \\ -1+ \frac{i}{2}\end{array}\right], \,
                      Z(t)=\left[\begin{array}{c} 0 \\ t \\ 0 \\ 0\end{array}\right].$$ 
                   \begin{enumerate}\item[(i)] Calculer $det(U(t),V(t),W(t),Z(t))$ en fonction de $P(t)$.
                     \item[(ii)] Déterminer 
                     pour quelles valeurs de $t$ la famille $U,V,W,Z$ est une base du $\Cc$-espace vectoriel 
                     $\Cc^4$.
				   \end{enumerate} 
           \end{enumerate}

%
\item {\bf Exercice 2} (7 pts). Soit $U$ l'espace vectoriel des suites à valeurs complexes. On dit 
             qu'une suite $(u_n)$ de $U$ est bornée si  
             $$\exists M>0 \, | \, \forall n\in \mathbf{N},\, |u_n|\leq M.$$ On note $B$ le sous-ensemble des suites 
               bornées. 

             Soit $F$ le sous-espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrence
             $$ \forall n \in \mathbf{N}, \, u_{n+2}+u_{n+1} +u_n=0.$$
         \begin{enumerate} \item Montrer que $B$ est un sous-espace vectoriel de $U$. 
              \item Calculer les racines complexes du polynôme $P(X)=X^2+ X +1$, et montrer qu'elle 
                sont de module égal à $1$. En déduire une 
               base de $F$ comme $\Cc$-espace vectoriel. Montrer que $F \subset B$.
              \item Montrer que les suites $a_n=cos(2n\pi/3)$ et $b_n=sin(2n\pi/3)$ forment une base
               de suites réelles de $F$.
              \item Soit $f$ l'application : $F \rightarrow \Cc$ définie par $f((u_n))=u_0$. 
                     Montrer que $f$ est linéaire. 
               \item Montrer que 
               $Ker(f)$ est de dimension $1$ et donner une base de $Ker(f)$.  
               Montrer que $Im(f)=\Cc$               
              \item Et s'il reste du temps (bonus): calculer le terme général des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
         \end{enumerate}

\end{enumerate}

         
\end{document}
